Волны

Волновые процессы

Волной называется процесс распространения колебаний или других возмущений в пространстве.

Основными видами волн являются механические упругие волны, волны на поверхности жидкости и электромагнитные волны.

Упругими волнами называются волны, которые могут распространяться в упругой среде (т. е. среде, которая сопротивляется сжатию: твердой, жидкой и газообразной). К ним относятся, в частности, ударные, звуковые и сейсмические волны. Упругие волны называют также механическими волнами.

Электромагнитные волны могут распространяться как в среде, так и в вакууме (например, радиоволны, световые волны).

Характерным свойством волн является перенос энергии без переноса вещества. Например, по некошенному полю пшеницы от порывов ветра распространяется волна. При этом колосья колеблются около своих положений равновесия, а волна идет по всему полю.

Рассмотрим этот процесс более подробно. Частицы среды, в которой распространяется волна, колеблются около своих положений равновесия. В зависимости от направления колебаний частиц среды по отношению к направлению распространения волны различают волны продольные и поперечные.

В продольной волне частицы колеблются вдоль направления распространения волны, в поперечной волне колебания частиц совершаются перпендикулярно направлению распространения волны. В жидкой и газообразной среде возможно распространение только продольных волн, в твердой среде — как продольных, так и поперечных.

Характеристики волнового процесса

Поскольку волна — это процесс распространения колебаний в пространстве, то для волнового процесса используются те же характеристики, что и для колебаний (T , ν ,φ ,ω ,A ), но вводятся еще и новые характеристики. Такими характеристиками являются: скорость волны — v, длина волны — λ, волновое число — k. При волновых процессах вводятся такие понятия, как фронт волны и волновая поверхность.

Фронтом волны называется поверхность, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли.

Волновой поверхностью называется геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе.

Волновых поверхностей существует бесчисленное множество, в то время как фронт волны один. Простейшие волновые поверхности — плоскости и сферы. Если волновые поверхности представляют собой плоскости, то волна называется плоской, если они представляют собой множество концентрических сфер, то это сферическая волна. На больших расстояниях от точечного источника можно небольшие участки волновой поверхности считать плоскими.

Скоростью волны v называется скорость перемещения волновой поверхности (фазовая скорость). Экспериментально ее можно найти, определив скорость перемещения фронта волны.

Длиной волны λ   называется расстояние, пройденное волновой поверхностью за период колебаний. Длина волны вычисляется по формуле

Связь длины волны и частоты дается формулой

Волновым числом называется величина

Уравнение плоской гармонической волны

Уравнением волны называется выражение, которое определяет смещение колеблющейся частицы как функцию координат и времени.

Найдем вид уравнения для плоской гармонической волны.

Пусть в начале координат находится источник плоских волн, которые распространяются вдоль оси x. Смещение точек среды в плоскости x = 0 совершается по гармоническому закону:

Найдем вид функции, описывающий колебания точек в некоторой плоскости x. Для того, чтобы волна прошла путь от источника до точки наблюдения, требуется время , где v — фазовая скорость распространения волны.

Поэтому уравнение колебаний частиц, лежащих в плоскости x, будет иметь вид

Приведем это уравнение к симметричному виду:

Найдем, чему равно отношение:

где k — волновое число.

Тогда получим уравнение плоской волны:

где A — амплитуда волны,

Формула казывает, что смещение ξ   зависит от времени t и координаты x — координаты положения равновесия колеблющейся частицы среды.

На рисунке представлен график зависимости смещения от координаты при t = const. На этом рисунке показаны амплитуда волны A и длина волны  λ.

Энергия упругой волны

Распространение волн связано с переносом энергии. При этом частицы среды не переносятся волной, а совершают колебание около положения равновесия. Скорость колеблющейся частицы равна

Кинетическая энергия частиц, заключенных в объеме , равна

Масса выделенного объема m равна

где ρ — плотность среды.

Тогда значение кинетической энергии выделенного объема равно

Выделенный объем обладает также потенциальной энергией . Можно показать, что

где, 

Следовательно, кинетическая энергия выделенного объема равна потенциальной энергии.

Полная энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергии

Полная энергия, возникающая в упругой среде при распространении в ней плоской гармонической волны, равна

Плотностью энергии называется энергия, заключенная в единице объема, т. е.

Из формулы следует, что плотность энергии в каждый момент времени в разных точках пространства различна. Среднее значение плотности энергии определяется средним значением квадрата синуса

Следовательно, среднее по времени значение плотности энергии в данной точке среды равно

Итак, энергия волны, плотность энергии и ее среднее значение пропорциональны плотности среды, квадрату амплитуды и квадрату частоты.

Задачи:

1. Рыболов заметил, что за 10 с поплавок совершил на волнах 30 колебаний, а расстояние между соседними гребнями волн 1,2 м. Какова скорость распространения волны?
2. На озере в безветренную погоду с лодки бросили тяжелый якорь. От места бросания якоря пошли волны. Человек, стоящий на берегу, заметил, что волна дошла до него через 1 минуту, расстояние между соседними гребнями волн 0,7 м, а за 6 с было 30 всплесков о берег. Как далеко от берега находилась лодка?
3. Длина звуковой волны в воздухе для самого низкого мужского голоса достигает 4,3 м, а для самого высокого женского голоса 25 см. Найти частоты колебаний этих голосов.
4. Частотный диапазон рояля от 90 до 9000 Гц. Найти диапазон длин звуковых волн в воздухе.
5. Во время грозы человек услышал гром через 19 с после вспышки молнии. Как далеко от него произошел разряд?
6. Мотоциклист, движущийся по прямолинейному участку дороги, увидел, как человек, стоящий у дороги, ударил стержнем по висящему рельсу, а через 3 с услышал звук. С какой скоростью двигался мотоциклист, если он проехал мимо человека через 42 с после начала наблюдения?
7. Звук взрыва, произведенного в воде вблизи поверхности, приборы, установленные на корабле и принимающие звук по воде, зарегистрировали на 52 с раньше, чем он пришел по воздуху. На каком расстоянии от корабля произошел взрыв?
8. Какая из величин и во сколько раз изменится при переходе звука из воздуха в воду частота или длина волны?
9. Расстояние до преграды, отражающей звук, 84 м. Через какое время человек услышит эхо?
10. При измерении глубины моря под кораблем при помощи эхолота оказалось, что моменты отправления и приема ультразвука разделены промежутком времени 1,2 с. Какова глубина моря под кораблем?

Задания и вопросы для самоконтроля

1. Что называется волной? Приведите примеры волн.
2. Что называется фронтом волны? Волновой поверхностью?
3. Назовите характеристики волнового процесса и дайте их определения.
4. Как получить уравнение плоской волны?
5. От чего зависит энергия и плотность энергии волн?