Динамика

Динамика поступательного движения

Классическая динамика была создана английским ученым Исааком Ньютоном в XVII веке, но не утратила своего значения до настоящего времени. Теория Ньютона связала воедино разрозненные факты и сделала возможным научное прогнозирование. Знание законов динамики позволило решить чрезвычайно широкий круг технических проблем, решение которых оказало самое большое влияние на жизнь людей. Вот почему в книге Майкла Харта «Сто великих людей» Ньютон занимает I место среди ученых.

В динамике вводятся новые понятия, такие, как сила, масса, импульс.

Силы в механике

Силой  называется мера действия одного тела на другое, т. е. мера взаимодействия тел.

В физике известно четыре вида взаимодействия тел:

• ядерное (между нуклонами атомного ядра);
• слабое (при распаде некоторых элементарных частиц);
• электромагнитное (между частицами, имеющими электрический заряд);
• гравитационное (между любыми частицами).

Ядерное и слабое взаимодействие в механике не рассматриваются. Электромагнитное взаимодействие проявляется в механике в виде сил трения и упругости. Гравитационное взаимодействие является самым «слабым». Однако, при наличии больших масс (планеты, звезды и т. д.) оно является весьма существенным. Поэтому для большинства явлений механики, происходящих на Земле, нужно учитывать силу тяготения (т. е. гравитационное взаимодействие).

Гравитационная сила (или сила всемирного тяготения) является фундаментальной силой. Гравитация является всеобщим законом для всей Вселенной. Закон всемирного тяготения, открытый Ньютоном, формулируется следующим образом.

Два тела (рассматриваемые как материальные точки) притягиваются друг к другу по прямой, их соединяющей, с силами, прямо пропорциональными произведению их масс и обратно пропорциональными квадрату расстояния между ними

где     

Перечислим некоторые нефундаментальные силы, которые используются при решении задач в механике.

Сила тяжести

где  m   — масса тела,  g  — ускорение свободного падения.

Сила трения

где   

Сила упругости,

где  k — коэффициент упругости.

Тогда:

Сила упругости вычисляется по закону Гука, согласно которому упругая деформация пропорциональна действующей на тело силе.

Масса и импульс тела

Опыт показывает, что всякое тело сопротивляется попыткам изменить его состояние. Это свойство называется инертностью.

Масса — это мера инертности тела.

Масса также определяет гравитационные свойства и определяется количеством вещества, заключенного в теле.

Импульс тела равен произведению массы тела на его скорость. Это векторная величина

Законы Ньютона

В основе классической динамики лежат три закона Ньютона, полученные как результаты обобщения опытных фактов.

I закон Ньютона называют законом инерции.

Всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока воздействие на него других тел не заставит изменить его это состояние.

Первый закон Ньютона (также, как другие) выполняется только для инерциальных систем отсчета. Инерциальной системой отсчета называется такая система отсчета, относительно которой тело, свободное от внешних воздействий, либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно.

II закон Ньютона называют основным законом динамики поступательного движения. Приняты такие две формулировки. Первая формулировка справедлива для движения тел с постоянной массой.

Результирующая сила, действующая на тело, равна массе тела, умноженной на его ускорение

где

Вторая формулировка является более общей, она справедлива для движения тел как для классической, так и для релятивистской механики. Она читается так: результирующая сила, действующая на тело, равна производной по времени от импульса тела

Отсюда:   или     

Произведение силы на время ее действия называется импульсом силы. Следовательно, импульс силы равен изменению импульса тела.

III закон Ньютона носит название закона взаимодействия. Он утверждает, что всякое действие тел друг на друга носит характер взаимодействия.

При взаимодействии тел сила, действующая со стороны первого тела на второе, равна по величине и противоположна по направлению силе, действующей со стороны второго тела на первое.

Эти силы приложены к разным телам, всегда действуют парами и являются силами одной природы. Например, на рис. показаны гравитационные силы, действующие между двумя телами.

Этот закон позволяет осуществить переход от динамики отдельной материальной точки к динамике системы материальных точек. Это следует из того, что для системы материальных точек взаимодействие сводится к силам парного взаимодействия между материальными точками.

Единицей измерения силы в системе СИ является ньютон (Н)

Закон сохранения импульса

Закон сохранения импульса является одним из основных законов природы. В механике его можно получить из II и III законов Ньютона. Он справедлив для системы материальных точек, на которые либо не действуют внешние силы, либо векторная сумма всех внешних сил равна нулю. Система, на которую не действуют внешние силы, называется замкнутой системой.

Для вывода закона сохранения импульса рассмотрим замкнутую систему, состоящую из трех тел. (рис. 1.8). Тогда между телами системы действуют только внутренние силы.

Рис.1.8

По III закону Ньютона

По II закону Ньютона

Сложим левые и правые части уравнений

 .

Преобразуем это уравнение

 .

Назовем  

Импульсом системы называется векторная сумма импульсов тел, входящих в систему.

Тогда:      

Закон сохранения импульса читается так: импульс замкнутой системы сохраняется.

Отметим, что импульс сохраняется и для незамкнутых систем при условии, что векторная сумма внешних сил равна нулю.

На основе закона сохранения импульса можно объяснить отдачу оружия при стрельбе, реактивное движение и т. д. Закон сохранения импульса является одним из важнейших законов природы. Он выполняется всегда и везде — в космосе и микромире, для макротел и микрочастиц.

Работа в механике. Мощность

Понятие работа является обобщением повседневного опыта человека. Но в механике это понятие является более узким и более точным, чем в быту.

Работой постоянной силы в механике называется произведение модуля вектора силы на модуль вектора перемещения и на косинус угла между направлением силы и направлением перемещения

 

Эта формула справедлива, если тело движется прямолинейно и на него действует постоянная сила. Длина пути тогда равна модулю вектора перемещения 

Из формулы (1.25) следует, что работа может быть положительной, отрицательной или равной нулю. Если работа положительная ( A > 0 ), то это значит, что внешние силы совершают над телом работу. Если работа отрицательная ( A < 0 ), то тело совершает работу над внешними телами.

Единицей работы в системе СИ является джоуль (Дж)

В общем случае, движение может происходить по криволинейной траектории под действием переменной силы.

Тогда сначала нужно вычислить элементарную работу на малом участке пути, на котором движение можно считать прямолинейным, а силу постоянной

где ; F_s  — проекция силы на направление перемещения.

Суммарную работу находят интегрированием

По этой формуле вычисляется работа переменной силы.

Работа, совершаемая в единицу времени, называется мощностью

Единица мощности — ватт (Вт)

Механическая энергия

Проблема энергии касается каждого человека. От потребления энергии непосредственно зависит благосостояние людей, поэтому надо четко представлять себе, что такое энергия, и как она распределяется.

В соответствии с различными формами движения материи существуют разные виды энергии: механическая, химическая, тепловая, электрическая, ядерная и т. д. Для сравнения различных форм движения материи требуется общий эквивалент, подобно тому, как деньги являются общим эквивалентом, позволяющим сравнивать различные товары. В физике мерой перехода одних форм движения в другие является энергия. Изменение энергии связано с совершением работы. Итак, энергией называется способность тела совершать работу.

В механике тело способно совершить работу в двух случаях:

1) если оно движется, т. е. обладает кинетической энергией;

2) если оно находится в потенциальном поле сил, т. е. обладет потенциальной энергией.

Кинетическая энергия

Кинетической энергией называется энергия движущегося тела. Найдем формулу для кинетической энергии и покажем, что изменение кинетической энергии равно работе равнодействующей силы.

Элементарная работа равна

Используя формулы , получим

.

Суммарная работа будет равна

Отсюда кинетическая энергия вычисляется по формуле

Кинетическая энергия всегда положительная, она измеряется в тех же единицах, что и работа. Если A > 0, то , т. е. кинетическая энергия тела возрастает, следовательно, внешние силы над телом совершают работу.

Если A<0, то , т. е. кинетическая энергия тела убывает, значит тело совершает работу.

Консервативные силы

Примерами консервативных сил являются сила тяжести и сила упругости.

Основным свойством консервативных сил является то, что работа консервативных сил не зависит от формы траектории. Покажем это на примере работы силы тяжести.

Покажем, что работа силы тяжести одинакова для двух разных путей (для пути 1 — 3 и пути 1 — 2 — 3), обозначения длин путей приведены на рис. 1.11

Из последней формулы следует, что работа силы тяжести не зависит от формы траектории.

Консервативными силами называются силы, работа которых не зависит от формы траектории, а определяется только начальной и конечной координатами тел. Силы, которые не удовлетворяют этому правилу, называются неконсервативными. Примером неконсервативных сил является сила трения.

Потенциальная энергия

Потенциальной энергией называется энергия, обусловленная взаимным расположением тел или их частей друг относительно друга.

Универсальной формулы для расчета потенциальной энергии нет.

Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух тел равна:

где m₁ и m₂   — массы взаимодействующих тел, r — расстояние между центрами масс,  — гравитационная постоянная.

Потенциальная энергия тела, поднятого на высоту h, равна

где   — ускорение свободного падения.

Потенциальная энергия упруго сжатой пружины равна

где k — коэффициент упругости,   — деформация (изменение длины тела).

Работа в потенциальном поле сил равна убыли потенциальной энергии:

Полная механическая энергия тела

Полной механической энергией называется сумма кинетической и потенциальной энергий

Закон сохранения механической энергии

Закон сохранения энергии является одним из основных законов в физике и технике. Он накладывает строгие ограничения на возможность перераспределения энергии в замкнутой системе и преобразования ее из одной формы в другую. Этот закон получен на основе обобщения большого количества опытных данных.

Полная механическая энергия замкнутой системы, между телами которой действуют только консервативные силы, остается постоянной,

Если система незамкнутая, но внешние силы также являются консервативными, то механическая энергия также сохраняется.

Если в замкнутой системе, кроме консервативных сил действуют неконсервативные силы (например, сила трения), то полная механическая энергия изменяется. Тогда справедлив закон изменения механической энергии.

Изменение полной механической энергии замкнутой системы равно работе неконсервативных сил

Заметим, что силы трения совершают отрицательную работу. Поэтому наличие силы трения в замкнутой системе приводит к уменьшению ее полной механической энергии.

Следует иметь в виду, что при исчезновении механической энергии всегда возникает эквивалентное количество энергии другого вида (например, теплоты). В самой общей форме закон сохранения энергии формулируется следующим образом.

Энергия никуда не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой.

Закон сохранения энергии является фундаментальным законом природы. Он справедлив как для систем макротел, так и для систем микротел.

Соударение двух тел

Рассмотрим два примера на применение законов сохранения импульса и энергии при соударении двух тел. Существует два предельных вида удара: абсолютно упругий и абсолютно неупругий.

Абсолютно упругий удар шаров

Абсолютно упругим ударом называется такой удар, при котором тела разлетаются, не меняя своего строения и формы. Запишем закон сохранения импульса для абсолютно упругого удара

где  

Закон сохранения энергии для абсолютно упругого удара шаров запишется в следующем виде

В этом случае кинетическая энергия системы до удара равна кинетической энергии системы после удара.

Решая совместно два уравнения, получим скорости шаров после удара.

Абсолютно неупругий удар шаров

Абсолютно неупругим ударом называется такой удар, после которого тела меняют свою форму и движутся как единое целое с одинаковой скоростью или покоятся. Запишем закон сохранения импульса для абсолютно неупругого удара

где  

 — общая скорость после удара.

Запишем закон сохранения энергии в общем форме для абсолютно неупругого удара шаров

где    

В этом случае сохраняется полная энергия системы, включая энергию деформации.

Задачи

1. В одном из опытов по проверке закона всемирного тяготения сила притяжения между свинцовым шариком массой m₁ = 5,0 кг и шариком массой m₂ = 100 г была равна F = 1,7 нН. Расстояние между центрами шаров r = 14,0 см. На основании этих данных определите гравитационную постоянную.
2. На какой высоте от поверхности Земли сила тяготения, действующая на тело, уменьшится в 4 раза? Радиус Земли R_z принять равным 6,4 ∙ 10⁶ м.
3. Тело массой m = 7,4 кг перемещают по гладкой горизонтальной поверхности, действуя горизонтальной силой, модуль которой F = 6,8 Н. Определите модуль ускорения тела.
4. Ведро с песком массой m = 25 кг поднимают вверх, действуя вертикально вверх силой, модуль которой F = 0,45 кН. С каким ускорением поднимается ведро?
5. На гладкой наклонной плоскости с углом наклона a = 60^о находится брусок массой m = 4,0 кг, на который действует горизонтальная сила, модуль которой F = 20 Н (рис.1). Определите модули ускорения движения тела и силы давления тела на плоскость.

6. Какую работу совершает сила тяжести при падении камня массой m = 3 кг с высоты h= 8,0 м;

7. При разгоне автомобиля равнодействующая сил, приложенных к нему, совершила работу A = 50 кДж. Какой должна быть тормозящая сила, чтобы остановить этот автомобиль на пути S = 100 м при выключенном двигателе?

8. Если камень массой m =0,15 кг бросить вертикально вверх со скоростью v = 10 м/с, то какой максимальной высоты он должен достичь? Сопротивление воздуха не учитывать.

9. Поезд останавливается, и его скорость за время t = 3,3 с равномерно уменьшается от v₁ = 47,5 км/ч до v₂ = 30 км/ч. Каким должен быть предельный коэффициент трения k между чемоданом и полкой, чтобы чемодан при торможении начал скользить по полке?

10. На рельсах стоит платформа массой m₁ = 10 т. На платформе закреплено орудие массой m₂ = 5 т, из которого производится выстрел вдоль рельсов. Масса снаряда m₃ = 100 кг; его начальная скорость относительно орудия v₀ = 500 м/с. Найти скорость u платформы в первый момент после выстрела, если платформа стоит неподвижно; платформа двигалась со скоростью v = 18 км/ч и выстрел был произведен в направлении, противоположном направлению ее движения.

11. Тело массой 3 кг движется горизонтально с ускорением 4 м/с². Определить действующую на него силу.

Задания и вопросы для самоконтроля

1. Что называется силой? Приведите примеры сил в механике.
2. Сформулируйте закон Всемирного тяготения.
3. Сформулируйте законы Ньютона. Для каких систем они справедливы?
4. Сформулируйте закон сохранения импульса?
5. Что называется работой в механике?
6. Что называется кинетической энергией? Как она вычисляется?
7. Что называется потенциальной энергией? Как она вычисляется?
8. Какие силы называются консервативными? Неконсервативными?
9. Сформулируйте закон сохранения энергии.
10. Запишите законы сохранения энергии и импульса для упругого и неупругого ударов шаров.

Следующий параграф